《九章算术》（3/4）-汉-张苍

（本文为《九章算术》第 3/4 部分）

淳风等按：县户有多少之差，行道有远近之异。欲其均等，故各令行道日数约户为衰。行道多者少其户，行道少者多其户。故各令约户为衰。以八日约除甲县，得一百二十五，乙、丙各九十五，丁六十一。于今有术，副并为所有率。未并者各为所求率，以赋粟车数为所有数，而今有之，各得车数。一旬除乙，十三除丙，各得九十五；二旬除丁，得六十一也。〕
甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并为法。以赋粟车数乘未并者，各自为实。
〔衰，分科率。〕
实如法得一车。
〔各置所当出车，以其行道日数乘之，如户数而一，得率：户用车二日四十七分日之三十一，故谓之均。求此户以率，当各计车之衰分也。〕
有分者，上下辈之。
〔辈，配也。车、牛、人之数不可分裂，推少就多，均赋之宜。今按：甲分既少，宜从于乙。满法除之，有余从丙。丁分又少，亦宜就丙。除之适尽。加乙、丙各一，上下辈益，以少从多也。〕
以二十五斛乘车数，即粟数。
今有均输卒：甲县一千二百人，薄塞；乙县一千五百五十人，行道一日；丙县一千二百八十人，行道二日；丁县九百九十人，行道三日；戊县一千七百五十人，行道五日。凡五县赋输卒一月一千二百人。欲以远近、人数多少衰出之，问县各几何？答曰：甲县二百二十九人。乙县二百八十六人。丙县二百二十八人。
丁县一百七十一人。戊县二百八十六人。
术曰：令县卒各如其居所及行道日数而一，以为衰。
〔按：此亦以日数为均，发卒为输。甲无行道日，但以居所三十日为率。言欲为均平之率者，当使甲三十人而出一人，乙三十一人而出一人。出一人者，计役则皆一人一日，是以可为均平之率。〕
甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副并为法。以人数乘未并者各自为实。实如法而一。
〔为衰，于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，以赋卒人数为所有数。此术以别，考则意同，以广异闻，故存之也。各置所当出人数，以其居所及行道日数乘之，如县人数而一。得率：人役五日七分日之五。〕
有分者，上下辈之。
〔辈，配也。今按：丁分最少，宜就戊除。不从乙者，丁近戊故也。满法除之，有余从乙。丙分又少，亦就乙除，有余从甲。除之适尽。从甲、丙二分，其数正等，二者于乙远近皆同，不以甲从乙者，方以下从上也。〕
今有均赋粟：甲县二万五百二十户，粟一斛二十钱，自输其县；乙县一万二千三百一十二户，粟一斛一十钱，至输所二百里；丙县七千一百八十二户，粟一斛一十二钱，至输所一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，粟一斛一十七钱，至输所二百五十里；戊县五千一百三十户，粟一斛一十三钱，至输所一百五十里。
凡五县赋输粟一万斛。一车载二十五斛，与僦一里一钱。欲以县户赋粟，令费劳等，问县各粟几何？答曰：甲县三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七。乙县二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙县一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁县一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三。戊县九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三。
术曰：以一里僦价乘至输所里，〔此以出钱为均也。问者曰：“一车载二十五斛，与僦一里一钱。”一钱，即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所所用钱也。甲自输其县，则无取僦价也。〕
以一车二十五斛除之，〔欲知僦一斛所用钱。〕
加一斛粟价，则致一斛之费。
〔加一斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱也：甲一斛之费二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊十九也。〕
各以约其户数，为衰。
〔言使甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛。计其所费，则皆户一钱，故可为均赋之率也。计经赋之率，既有户算之率，亦有远近、贵贱之率。此二率者，各自相与通。通则甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五。一斛之费谓之钱率。钱率约户率者，则钱为母，户为子。子不齐，令母互乘为齐，则衰也。若其不然。以一斛之费约户数，取衰。并有分，当通分内子，约之，于算甚繁。此一章皆相与通功共率，略相依似。以上二率、下一率亦可放此，从其简易而已。又以分言之，使甲一户出二十分斛之一，乙一户出十八分斛之一，各以户数乘之，亦可得一县凡所当输，俱为衰也。乘之者，乘其子，母报除之。以此观之，则以一斛之费约户数者，其意不异矣。然则可置一斛之费而反衰之。约户，以乘户率为衰也。合分注曰：“母除为率，率乘子为齐。”反衰注曰：“先同其母，各以分母约，其子为反衰。”以施其率，为算既约，且不妨处下也。〕
甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十，副并为法。所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一。
〔各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如户数而一，得率：户出三钱二千八百七十三分钱之一千三百八十一。按：此以出钱为均。问者曰：“一车载二十五斛，与僦一里一钱。”一钱即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所用钱。
甲自输其县，则无取僦之价。以一车二十五斛除之者，欲知僦一斛所用钱。加一斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱：甲一斛之费二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊一十九。各以约其户，为衰：甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。言使甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛。计其所费，则皆户一钱，故可为均赋之率也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，赋粟一万斛为所有数。此今有、衰分之义也。〕
今有均赋粟：甲县四万二千算，粟一斛二十，自输其县；乙县三万四千二百七十二算，粟一斛一十八，佣价一日一十钱，到输所七十里；丙县一万九千三百二十八算，粟一斛一十六，佣价一日五钱，到输所一百四十里；丁县一万七千七百算，粟一斛一十四，佣价一日五钱，到输所一百七十五里；戊县二万三千四十算，粟一斛一十二，佣价一日五钱，到输所二百一十里；己县一万九千一百三十六算，粟一斛一十，佣价一日五钱，到输所二百八十里。凡六县赋粟六万斛，皆输甲县。六人共车，车载二十五斛，重车日行五十里，空车日行七十里，载输之间各一日。粟有贵贱，佣各别价，以算出钱，令费劳等，问县各粟几何？答曰：甲县一万八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。乙县一万八百二十七斛一百三十三分斛之九，丙县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。丁县六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。戊县九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。己县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。
术曰：以车程行空、重相乘为法，并空、重，以乘道里，各自为实，实如法得一日。
〔按：此术重往空还，一输再行道也。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。
完言之者，一百七十五里之路，往返用六日也。故并空、重者，齐其子也；空、重相乘者，同其母也。于今有术，至输所里为所有数，六为所求率，一百七十五为所有率，而今有之，即各得输所用日也。〕
加载输各一日，〔故得凡日也。〕
而以六人乘之，〔欲知致一车用人也。〕
又以佣价乘之，〔欲知致车人佣直几钱。〕
以二十五斛除之，〔欲知致一斛之佣直也。〕
加一斛粟价，即致一斛之费。
〔加一斛之价于致一斛之佣直，即凡输一斛粟取佣所用钱。〕
各以约其算数为衰，〔今按：甲衰四十二，乙衰二十四，丙衰十六，丁衰十五，戊衰二十，己衰十六。于今有术，副并为所有率，未并者各自为所求率，所赋粟为所有数。此今有、衰分之义也。〕
副并为法，以所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一斛。
〔各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如算数而一，得率：算出九钱一百三十三分钱之三。又载输之间各一日者，即二日也。〕
今有粟七斗，三人分舂之，一人为粝米，一人为粺米，一人为米，令米数等。问取粟、为米各几何？答曰：粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十。
粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。米取粟二斗一百二十一分斗之七十三。为米各一斗六百五分斗之一百五十一。
术曰：列置粝米三十，粺米二十七，米二十四，而反衰之。
〔此先约三率：粝为十，粺为九，为八。欲令米等者，其取粟：粝率十分之一，粺率九分之一，率八分之一。当齐其子，故曰反衰也。
淳风等按：米有精粗之异，粟有多少之差。据率，粺、少而粝多；用粟，则粺、多而粝少。米若依本率之分，粟当倍率，故今反衰之，使精取多而粗得少。〕
副并为法。以七斗乘未并者，各自为取粟实。实如法得一斗。
〔于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，粟七斗为所有数，而今有之，故各得取粟也。〕
若求米等者，以本率各乘定所取粟为实，以粟率五十为法，实如法得一斗。
〔若径求为米等数者，置粝米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十；米十二，用粟二十五。齐其粟，同其米，并齐为法。以七斗乘同为实。所得，即为米斗数。〕
今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问各几何？答曰；米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。
术曰：置米一、菽二，求为粟之数。并之，得三、九分之八，以为法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自为实。实如法得一斛。
〔淳风等按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。
并全，得三。齐子，并之，得二十四；同母，得二十七；约之，得九分之八。故云“并之，得三、九分之八”。米一、菽二当粟三、九分之八，此其粟率也。于今有术，米一、菽二皆为所求率，当粟三、九分之八，为所有率，粟二斛为所有数。凡言率者，当相与。通之，则为米九、菽十八，当粟三十五也。亦有置米一、菽二，求其为粟之率，以为列衰。副并为法，以粟乘列衰为实。所得即米一、菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之，即合所问。〕
今有取佣，负盐二斛，行一百里，与钱四十。今负盐一斛七斗三升少半升，行八十里。问与钱几何？答曰：二十七钱一十五分钱之一十一。
术曰：置盐二斛升数，以一百里乘之为法。
〔按：此术以负盐二斛升数乘所行一百里，得二万里。是为负盐一升行二万里，得钱四十。于今有术，为所有率。〕
以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之，为实。实如法得一钱。
〔以今负盐升数乘所行里，今负盐一升凡所行里也。于今有术以所有数，四十钱为所求率也。衰分章“贷人千钱”与此同。〕
今有负笼重一石，行百步，五十返。今负笼重一石一十七斤，行七十六步，问返几何？答曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。
术曰：以今所行步数乘今笼重斤数，为法。
〔此法谓负一斤一返所行之积步也。〕
故笼重斤数乘故步，又以返数乘之，为实。实如法得一返。
〔按：此法，负一斤一返所行之积步；此实者一斤一日所行之积步。故以一返之课除终日之程，即是返数也。
淳风等按：此术，所行步多者得返少，所行步少者得返多。然则故所行者今返率也。故令所得返乘今返之率，为实，而以故返之率为法，今有术也。按：此负笼又有轻重，于是为术者因令重者得返少，轻者得返多。故又因其率以乘法、实者，重今有之义也。然此意非也。按：此笼虽轻而行有限，笼过重则人力遗。
力有遗而术无穷，人行有限而笼轻重不等。使其有限之力随彼无穷之变，故知此术率乖理也。若故所行有空行返数，设以问者，当因其所负以为返率，则今返之数可得而知也。假令空行一日六十里，负重一斛行四十里。减重一斗进二里半，负重二斗以下与空行同。今负笼重六斗，往返行一百步，问返几何？答曰：一百五十返。术曰：置重行率，加十里，以里法通之，为实。以一返之步为法。实如法而一，即得也。〕
今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何？答曰：四十八里一十八分里之一十一术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之，为实。实如法得一里。
〔此亦如上术。率：一百七十五里之路，往返用六日也。于今有术，则五日为所有数，一百七十五里为所求率，六日为所有率。以此所得，则三返之路。今求一返，当以三约之，因令乘法而并除也。为术亦可各置空、重行一里用日之率，以为列衰，副并为法。以五日乘列衰为实。实如法，所得即各空、重行日数也。
各以一日所行以乘，为凡日所行。三返约之，为上林去太仓之数。按：此术重往空还，一输再还道。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十五里之路，往返用六日。故并空、重者，并齐也；空、重相乘者，同其母也。于今有术，五日为所有数，一百七十五为所求率，六为所有率。以此所得，则三返之路。今求一返者，当以三约之。故令乘法而并除，亦当约之也。〕
今有络丝一斤为练丝一十二两，练丝一斤为青丝一斤一十二铢。今有青丝一斤，问本络丝几何？答曰：一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。
术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，又以络丝一斤乘，为实。实如法得一斤。
〔按：练丝一斤为青丝一斤十二铢，此练率三百八十四，青率三百九十六也。
又络丝一斤为练丝十二两，此络率十六，练率十二也。置今有青丝一斤，以练率三百八十四乘之，为实。实如青丝率三百九十六而一。所得，青丝一斤，练丝之数也。又以络率十六乘之，所得为实；以练率十二为法。所得，即练丝用络丝之数也。是谓重今有也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法而并除也。故以练丝两数为实，青丝铢数为法。一曰：又置络丝一斤两数与练丝十二两，约之，络得四，练得三。此其相与之率。又置练丝一斤铢数与青丝一斤一十二铢，约之，练得三十二，青得三十三。亦其相与之率。齐其青丝、络丝，同其二练，络得一百二十八，青得九十九，练得九十六，即三率悉通矣。今有青丝一斤为所有数，络丝一百二十八为所求率，青丝九十九为所有率。为率之意犹此，但不先约诸率耳。凡率错互不通者，皆积齐同用之。放此，虽四五转不异也。言同其二练者，以明三率之相与通耳，于术无以异也。又一术：今有青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，为实；以青丝一斤一十二铢为法。所得，即用练丝两数。以络丝一斤乘所得为实，以练丝十二两为法，所得，即用络丝斤数也。〕
今有恶粟二十斗，舂之，得粝米九斗。今欲求粺米一十斗，问恶粟几何？答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。
术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以恶粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。
〔按：此术置今有求粺米十斗，以粝米率十乘之，如粺率九而一，即粺化为粝，又以恶粟率二十乘之，如粝率九而一，即粝亦化为恶粟矣。此亦重今有之义。为术之意犹络丝也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法而并除之也。〕
今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问几何步及之？答曰：二百五十步。
术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。
〔按：此术以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行一百步，追及率。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也。〕
今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善行者几何里及之？答曰：三十三里少半里。
术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善行者先行一十里乘善行者一百里，为实。实如法得一里。
〔按：此术不善行者既先行一十里，后不及二十里，并之，得三十里也，谓之先行率。善行者一百里为追及率。约之，先行率得三，三为所有率，而今有之，即得也。其意如上术也。〕
今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行几何步及之？答曰：一百七步七分步之一。
术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘犬追步数为实。实如法得一步。
〔按：此术以不及三十步减先走一百步，余七十步，为兔先走率。犬行二百五十步为追及率。约之，先走率得七，追及率得二十五。于今有术，不及三十步为所有数，二十五为所求率，七为所有率，而今有之，即得也。〕
今有人持金十二斤出关，关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。
问金一斤值钱几何？答曰：六千二百五十。
术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以一十乘五千为实。实如法得一钱。
〔按：此术置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所当税者也。减二斤，余即关取盈金。以盈除所偿钱，即金值也。今术既以十二斤为所税，则是以十为母，故以十乘二斤及所偿钱，通其率。于今有术，五千钱为所有数，十为所求率，八为所有率，而今有之，即得也。〕
今有客马，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃觉。持衣追及，与之而还；至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？答曰：七百八十里。
术曰：置四分日之三，除三分日之一，〔按：此术“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其减也。减之余，有十二分之五，即是主人追客还用日率也。〕
半其余，以为法。
〔去其还，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是为主人与客均行用日之率也。〕
副置法，增三分日之一。
〔法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未觉之前独行用日之分也。并连此数，得二十四分日之十三，则主人追及前用日之分也。
是为客用日率也。然则主人用日率者，客马行率也；客用日率者，主人马行率也。
母同则子齐，是为客马行率五，主人马行率十三。于今有术，三百里为所有数，十三为所求率，五为所有率，而今有之，即得也。〕
以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。
〔欲知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一，得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四，如客马与主人均行用日分子五而一，亦得主人马一日行七百八十里也。〕
今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何？答曰：末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤八两。次一尺重四斤。
术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。
副置，以差率减之，每尺各自为衰。
〔按：此术五尺有四间者，有四差也。今本末相减，余即四差之凡数也。以四约之，即得每尺之差。以差数减本重，余即次尺之重也。为术所置，如是而已。
今此率以四为母，故令母乘本为衰，通其率也。亦可置末重，以四间乘之，为上第一衰。以差重率加之，为次下衰也。〕
副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。
〔以下第一衰为法，以本重乘其分母之数，而又反此率乘本重，为实。一乘一除，势无损益，故惟本存焉。众衰相推为率，则其余可知也。亦可副置末衰为法，而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回，然是其旧。故就新而言之也。〕
今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？答曰：甲得一钱六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之四。
术曰：置钱，锥行衰。
〔按：此术“锥行”者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均，为一列者也。〕
并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。
〔数不得等，但以五、四、三、二、一为率也。〕
以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。
〔此问者，令上二人与下三人等，上、下部差一人，其差三。均加上部，则得二三；均加下部，则得三三。下部犹差一人，差得三，以通于本率，即上、下部等也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五钱为所有数，而今有之，即得等耳。假令七人分七钱，欲令上二人与下五人等，则上、下部差三人。
并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上。当以上、下部列差而后均减，乃合所问耳。此可仿下术：令上二人分二钱半为上率，令下三人分二钱半为下率。上、下二率以少减多，余为实。置二人、三人，各半之，减五人，余为法。
实如法得一钱，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也。〕
今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容，各多少？答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三十九。
术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。
〔此二率者，各其平率也。〕
上、下率以少减多，余为实。
〔按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。上、下以少减多者，余为中间五节半之凡差，故以为实也。〕
置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升。即衰相去也。
〔按此术法者，上下节所容已定之节，中间相去节数也；实者，中间五节半之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。〕
下率一升少半升者，下第二节容也。
〔一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。〕
今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问何日相逢？答曰：三日十六分日之十五。
术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。
〔按：此术置凫七日一至，雁九日一至。齐其至，同其日，定六十三日凫九至，雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。
故“并日数为法”者，并齐之意；“日数相乘为实”者，犹以同为实也。一曰：凫飞日行七分至之一，雁飞日行九分至之一。齐而同之，凫飞定日行六十三分至之九，雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分，凫日行九分，雁日行七分也。并凫、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。〕
今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？答曰：二日十二分日之一。
术曰：并五日、七日，以为法。
〔按：此术“并五日、七日为法”者，犹并齐为法。置甲五日一至，乙七日一至。齐而同之，定三十五日甲七至，乙五至。并之为十二至者，用三十五日也。
谓甲、乙与发之率耳。然则日化为至，当除日，故以为法也。〕
以乙先发二日减七日，〔“减七日”者，言甲、乙俱发，今以发为始发之端，于本道里则余分也。〕
也。
余，以乘甲日数为实。
〔七者，长安去齐之率也；五者，后发相去之率也。今问后发，故舍七用五。
以乘甲五日，为二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也。
实如法得一日。
〔一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齐而同之，甲定日行三十五分至之七，乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分，甲日行七分，乙日行五分也。今乙先行发二日，已行十分，余，相去二十五分。故减乙二日，余，令相乘，为二十五分。〕
今有一人一日为牝瓦三十八枚，一人一日为牡瓦七十六枚。今令一人一日作瓦，牝、牡相半，问成瓦几何？答曰：二十五枚少半枚。
术曰：并牝、牡为法，牝、牡相乘为实，实如法得一枚。
〔此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并，犹如凫、雁日飞相并也。按：此术“并牝、牡为法”者，并齐之意；“牝、牡相乘为实”者，犹以同为实也。故实如法，即得也。〕
今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日摐矢十五。今令一人一日自矫、羽、摐，问成矢几何？答曰：八矢少半矢。
术曰：矫矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；摐矢五十，用徒三人少半人。并之，得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。
〔按：此术言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工其作，犹凫、雁共至之类，亦以同为实，并齐为法。可令矢互乘一人为齐，矢相乘为同。今先令同于五十矢。矢同则徒齐，其归一也。——以此术为凫雁者，当雁飞九日而一至，凫飞九日而一至七分至之二。并之，得二至七分至之二，以为法。以九日为实。——实如法而一，得一人日成矢之数也。〕
今有假田，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一百。问田几何？答曰：一顷二十七亩四十七分亩之三十一。
术曰：置亩数及钱数。令亩数互乘钱数，并，以为法。亩数相乘，又以百钱乘之，为实。实如法得一亩。
〔按：此术令亩互乘钱者，齐其钱；亩数相乘者，同其亩。同于六十，则初假之岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二也。凡三岁得钱一百，为所有数，同亩为所求率，四十七钱为所有率，今有之，即得也。齐其钱，同其亩，亦如凫雁术也。于今有术，百钱为所有数，同亩为所求率，并齐为所有率。
淳风等按：假田六十亩，初岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二。
并之，得钱四十七。是为得田六十亩，三岁所假。于今有术，百钱为所有数，六十亩为所求率，四十七为所有率，而今有之，即合问也。〕
今有程耕，一人一日发七亩，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩。今令一人一日自发、耕、耰种之，问治田几何？答曰：一亩一百一十四步七十一分步之六十六。
术曰：置发、耕、耰亩数，令互乘人数，并，以为法。亩数相乘为实。实如法得一亩。
〔此犹凫雁术也。
淳风等按：此术亦发、耕、耰种亩数互乘人者，齐其人；亩数相乘者，同其亩。故并齐为法，以同为实。计田一百五亩，发用十五人，耕用三十五人，种用二十一人。并之，得七十一工。治得一百五亩，故以为实。而一人一日所治，故以人数为法除之，即得也。〕
今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满，次一日一满，次二日半一满，次三日一满，次五日一满。今皆决之，问几何日满池？答曰：七十四分日之十五。
术曰：各置渠一日满池之数，并，以为法。
〔按：此术其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日五分满之一也。并之，得四满十五分满之十四也。〕
以一日为实，实如法得一日。
〔此犹矫矢之术也。先令同于一日，日同则满齐。自凫雁至此，其为同齐有二术焉，可随率宜也。〕
其一术：各置日数及满数。
〔其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是五日二满；次三日一满，次五日一满。此谓之列置日数及满数也。〕
令日互相乘满，并，以为法。日数相乘为实。实如法得一日。
〔亦如凫雁术也。按：此其一渠少半日满池者，是一日三满池也；次一日一满；次二日半满者，是五日再满；次三日一满；次五日一满。此谓列置日数于右行，及满数于左行。以日互乘满者，齐其满；日数相乘者，同其日。满齐而日同，故并齐以除同，即得也。〕
今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。
术曰：置米五斗，以所税者三之，五之，七之，为实。以余不税者二、四、六相互乘为法。实如法得一斗。
〔此亦重今有也。所税者，谓今所当税之。定三、五、七皆为所求率，二、四、六皆为所有率。置今有余米五斗，以七乘之，六而一，即内关未税之本米也。
又以五乘之，四而一，即中关未税之本米也。又以三乘之，二而一，即外关未税之本米也。今从末求本，不问中间，故令中率转相乘而同之，亦如络丝术。
又一术：外关三而取一，则其余本米三分之二也。求外关所税之余，则当置一，二分乘之，三而一。欲知中关，以四乘之，五而一。欲知内关，以六乘之，七而一。凡余分者，乘其母、子：以三、五、七相乘得一百五，为分母；二、四、六相乘，得四十八，为分子。约而言之，则是余米于本所持三十五分之十六也。
于今有术，余米五斗为所有数，分母三十五为所求率，分子十六为所有率也。〕
今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问本持金几何？答曰：一斤三两四铢五分铢之四。
术曰：置一斤，通所税者以乘之，为实。亦通其不税者，以减所通，余为法。
实如法得一斤。
〔此意犹上术也。“置一斤，通所税者”，谓令二、三、四、五、六相乘，为分母，七百二十也。“通其所不税者”，谓令所税之余一、二、三、四、五相乘，为分子，一百二十也。约而言之，是为余金于本所持六分之一也。以子减母，凡五关所税六分之五也。于今有术，所税一斤为所有数，分母六为所求率，分子五为所有率。此亦重今有之义。又虽各有率，不问中间，故令中率转相乘而连除之，即得也。置一以为持金之本率，以税率乘之、除之，则其率亦成积分也。〕
卷七
○盈不足（以御隐杂互见）
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？答曰：七人。物价五十三。
今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？答曰：九人。鸡价七十。
今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、琎价各几何？答曰：四十二人。琎价十七。
〔注云“若两设有分者，齐其子，同其母”，此问两设俱见零分，故齐其子，同其母。又云“令下维乘上。讫，以同约之”，不可约，故以乘，同之。〕
今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。问家数、牛价各几何？答曰：一百二十六家。牛价三千七百五十。
〔按：此术并盈不足者，为众家之差，故以为实。置所出率，各以家数除之，各得一家所出率。以少减多者，得一家之差。以除，即家数。以出率乘之，减盈，故得牛价也。〕
术曰：置所出率，盈不足各居其下。令维乘所出率，并，以为实。并盈、不足，为法。实如法而一。
〔按：盈者，谓朓；不足者，谓之朒；所出率谓之假令。盈、朒维乘两设者，欲为同齐之意。据“共买物，人出八，盈三；人出七，不足四”，齐其假令，同其盈、朒，盈、朒俱十二。通计齐则不盈不朒之正数，故可并之为实，并盈、不足为法。齐之三十二者，是四假令，有盈十二；齐之二十一者，是三假令，亦朒十二；并七假令合为一实，故并三、四为法。〕
有分者通之。
〔若两设有分者，齐其子，同其母。令下维乘上，讫，以同约之。〕
盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。
〔“所出率以少减多”者，余，谓之设差，以为少设。则并盈、朒，是为定实。故以少设约定实，则法，为人数；适足之实故为物价。盈朒当与少设相通。不可遍约，亦当分母乘，设差为约法、实。〕
其一术曰：并盈、不足为实。以所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。
以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。
〔此术意谓盈不足为众人之差。以所出率以少减多，余为一人之差。以一人之差约众人之差，故得人数也。〕
今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？答曰：三十三人。金价九千八百。
今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？答曰：二十一人。羊价一百五十。
术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。
两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一。有分者，通之。两盈两不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。
〔按：此术两不足者，两设皆不足于正数。其所以变化，犹两盈。而或有势同而情违者。当其为实，俱令不足维乘相减，则遗其所不足焉。故其余所以为实者，无朒数以损焉。盖出而有余，两盈。两设皆逾于正数。假令与共买物，人出八，盈三；人出九，盈十。齐其假令，同其两盈。两盈俱三十。举齐则兼去。
其余所以为实者，无盈数。两盈以少减多，余为法。齐之八十者，是十假令；而凡盈三十者，是十，以三之；齐之二十七者，是三假令；而凡盈三十者，是三，以十之。今假令两盈共十、三，以三减十，余七，为一实。故令以三减十，余七为法。所出率以少减多，余谓之设差。因设差为少设，则两盈之差是为定实。故以少设约法得人数，约实即得金数。〕
其一术曰：置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足以少减多，余为实。
实如法而一，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。
〔“置所出率，以少减多”，得一人之差。两盈、两不足相减，为众人之差。
故以一人之差除之，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。〕
今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足。问人数、犬价各几何？答曰：二人。犬价一百。
今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？答曰：一十人。豕价九百。
术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。
其求物价者，以适足乘人数，得物价。
〔此术意谓以所出率，以少减多者，余是一人不足之差。不足数为众人之差。
以一人差约之，故得人之数也。以盈及不足数为实者，数单见，即众人差，故以为实。所出率以少减多，即一人差，故以为法。以除众人差，得人数。以适足乘人数，即得物价也。〕
今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？答曰：二斗五升。
术曰：以盈不足术求之。假令故米二斗，不足二升；令之三斗，有余二升。
〔按：桶受一斛，若使故米二斗，须添粟八斗以满之。八斗得粝米四斗八升，课于七斗，是为不足二升。若使故米三斗，须添粟七斗以满之。七斗得粝米四斗二升，课于七斗，是为有余二升。以盈不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。为齐同者，齐其假令，同其盈朒。通计齐即不盈不朒之正数，故可以并之为实，并盈、不足为法。实如法，即得故米斗数，乃不盈不朒之正数也。〕
今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？答曰：五日十七分日之五。瓜长三尺七寸一十七分寸之一。瓠长五尺二寸一十七分寸之一十六。
术曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有余一尺二寸。
〔按：“假令五日，不足五寸”者，瓜生五日，下垂蔓三尺五寸；瓠生五日，上延蔓五尺；课于九尺之垣，是为不足五寸。“令之六日，有余一尺二寸”者，若使瓜生六日，下垂蔓四尺二寸；瓠生六日，上延蔓六尺；课于九尺之垣，是为有余一尺二寸。以盈、不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。齐其假令，同其盈朒。通计齐即不盈不朒之正数，故可并以为实，并盈、不足为法。实如法而一，即设差不盈不朒之正数，即得日数。以瓜、瓠一日之长乘之，故各得其长之数也。〕
今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。问几何日而长等？答曰：二日十三分日之六。各长四尺八寸一十三分寸之六。
术曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有余一尺七寸半。
〔按：“假令二日，不足一尺五寸”者，蒲生二日，长四尺五寸；莞生二日，长三尺；是为未相及一尺五寸，故曰不足。“令之三日，有余一尺七寸半”者，蒲增前七寸半，莞增前四尺，是为过一尺七寸半，故曰有余。以盈不足乘除之。
又以后一日所长各乘日分子，如日分母而一者，各得日分子之长也。故各增二日定长，即得其数。〕
今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。
问醇、行酒各得几何？答曰：醇酒二升半。行洒一斗七升半。
术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十；令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。
〔据醇酒五升，直钱二十五；行酒一斗五升，直钱一十五；课于三十，是为有余十。据醇酒二升，直钱一十；行酒一斗八升，直钱一十八；课于三十，是为不足二。以盈不足术求之。此问已有重设及其齐同之意也。〕
今有大器五，小器一，容三斛；大器一，小器五，容二斛。问大、小器各容几何？答曰：大器容二十四分斛之十三。小器容二十四分斛之七。
术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗；令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。
〔按：大器容五斗，大器五容二斛五斗。以减三斛，余五斗，即小器一所容。
故曰“小器亦五斗”。小器五容二斛五斗，大器一，合为三斛。课于两斛，乃多十斗。令之大器五斗五升，大器五合容二斛七斗五升。以减三斛，余二斗五升，即小器一所容。故曰小器二斗五升”。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗五升，合为一斛八斗。课于二斛，少二斗。故曰“不足二斗”。以盈不足维乘，除之。〕
今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。
问出漆、得油、和漆各几何？答曰：出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升。
和漆一斗八升四分升之三。
术曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二升，有余二升。
〔按：此术三斗之漆，出九升，得油一斗二升，可和漆一斗五升，余有二斗一升，则六升无油可和，故曰“不足六升”。令之出漆一斗二升，则易得油一斗六升，可和漆二斗。于三斗之中已出一斗二升，余有一斗八升。见在油合和得漆二斗，则是有余二升。以盈、不足维乘之，为实。并盈、不足为法。实如法而一，得出漆升数。求油及和漆者，四、五各为所求率，三、四各为所有率，而今有之，即得也。〕
今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问玉、石重各几何？答曰：玉一十四寸，重六斤二两。石一十三寸，重四斤一十四两。
术曰：假令皆玉，多十三两；令之皆石，不足一十四两。不足为玉，多为石。
各以一寸之重乘之，得玉、石之积重。
〔立方三寸是一面之方，计积二十七寸。玉方一寸重七两，石方一寸重六两，是为玉、石重差一两。假令皆玉，合有一百八十九两。课于一十一斤，有余一十三两。玉重而石轻，故有此多。即二十七寸之中有十三寸，寸损一两，则以为石重，故言多为石。言多之数出于石以为玉。假令皆石，合有一百六十二两。课于十一斤，少十四两，故曰不足。此不足即以重为轻。故令减少数于并重，即二十七寸之中有十四寸，寸增一两也。〕
今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善、恶田各几何？答曰：善田一十二亩半。恶田八十七亩半。
术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱七分钱之二；令之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱七分钱之三。
〔按：善田二十亩，直钱六千；恶田八十亩，直钱五千七百一十四、七分钱之二，课于一万，是多一千七百一十四、七分钱之二。令之善田十亩，直钱三千；恶田九十亩，直钱六千四百二十八、七分钱之四；课于一万，是为不足五百七十一、七分钱之三。以盈不足术求之也。〕
今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等。交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？答曰：金重二斤三两一十八铢。银重一斤一十三两六铢。
术曰：假令黄金三斤，白银二斤一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黄金二斤，白银一斤一十一分斤之七，多一十五，于左行。以分母各乘其行内之数。以盈、不足维乘所出率，并，以为实。并盈、不足为法。实如法，得黄金重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。
〔按：此术假令黄金九，白银一十一，俱重二十七斤。金，九约之，得三斤；银，一十一约之，得二斤一十一分斤之五；各为金、银一枚重数。就金重二十七斤之中减一金之重，以益银，银重二十七斤之中减一银之重，以益金，则金重二十六斤一十一分斤之五，银重二十七斤一十一分斤之六。以少减多，则金轻一十七两一十一分两之五。课于一十三两，多四两一十一分两之五。通分内子言之，是为不足四十九。又令之黄金九，一枚重二斤，九枚重一十八斤；白银一十一，亦合重一十八斤也。乃以一十一除之，得一斤一十一分斤之七，为银一枚之重数。
今就金重一十八斤之中减一枚金，以益银；复减一枚银，以益金，则金重一十七斤一十一分斤之七，银重一十八斤一十一分斤之四。以少减多，即金轻一十一分斤之八。课于一十三两，少一两一十一分两之四。通分内子言之，是为多一十五。
以盈不足为之，如法，得金重。分母乘法以除者，为银两分母，故同之。须通法而后乃除，得银重。余皆约之者，术省故也。〕
今有良马与驽马发长安，至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何？答曰：一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。
良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。驽马行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五。
术曰：假令十五日，不足三百三十七里半；令之十六日，多一百四十里。以盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈、不足为法。实如法而一，得日数。不尽者，以等数除之而命分。求良马行者：十四乘益疾里数而半之，加良马初日之行里数，以乘十五日，得十五日之凡行。又以十五日乘益疾里数，加良马初日之行。以乘日分子，如日分母而一。所得，加前良马凡行里数，即得。其不尽而命分。求驽马行者：以十四乘半里，又半之，以减驽马初日之行里数，以乘十五日，得驽马十五日之凡行。又以十五日乘半里，以减驽马初日之行，余，以乘日分子，如日分母而一。所得，加前里，即驽马定行里数。其奇半里者，为半法。以半法增残分，即得。其不尽者而命分。
〔按：“令十五日，不足三百三十七里半”者，据良马十五日凡行四千二百六十里，除先去齐三千里，定还迎驽马一千二百六十里；驽马十五日凡行一千四百二里半，并良、驽二马所行，得二千六百六十二里半。课于三千里，少三百三十七里半。故曰不足。“令之十六日，多一百四十里”者，据良马十六日凡行四千六百四十八里；除先去齐三千里，定还迎驽马一千六百四十八里，驽马十六日凡行一千四百九十二里。并良、驽二马所行，得三千一百四十里。课于三千里，余有一百四十里。故谓之多也。以盈不足之，实如法而一，得日数者，即设差不盈不朒之正数。以二马初日所行里乘十五日，为一十五日平行数。求初末益疾减迟之数者，并一与十四，以十四乘而半之，为中平之积。又令益疾减迟里数乘之，各为减益之中平里。故各减益平行数，得一十五日定行里。若求后一日，以十六日之定行里数乘日分子，如日分母而一，各得日分子之定行里数。故各并十五日定行里，即得。其驽马奇半里者，法为全里之分，故破半里为半法，以增残分，即合所问也。〕
今有人持钱之蜀贾，利十，三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及利各几何？答曰：本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六。利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七。
术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半；令之四万，多三万五千三百九十钱八分。
〔按：假令本钱三万，并利为三万九千；除初返归留，余，加利为三万二千五百；除二返归留，余，又加利为二万五千三百五十；除第三返归留，余，又加利为一万七千三百五十五；除第四返归留，余，又加利为八千二百六十一钱半；除第五返归留，合一万钱，不足一千七百三十八钱半。若使本钱四万，并利为五万二千；除初返归留，余，加利为四万九千四百；除第二返归留，余，又加利为四万七千三百二十；除第三返归留，余，又加利为四万五千九百一十六；除第四返归留，余，又加利为四万五千三百九十钱八分；除第五返归留，合一万，余三万五千三百九十钱八分，故曰多。
又术：置后返归一万，以十乘之，十三而一，即后所持之本。加一万一千，又以十乘之，十三而一，即第四返之本。加一万二千，又以十乘之，十三而一，即第三返之本。加一万三千，又以十乘之，十三而一，即第二返之本。加一万四千，又以十乘之，十三而一，即初持之本。并五返之钱以减之，即利也。〕
今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？答曰：二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四寸十七分寸之一十二，小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。
术曰：假令二日，不足五寸；令之三日，有余三尺七寸半。
〔大鼠日倍，二日合穿三尺；小鼠日自半，合穿一尺五寸；并大鼠所穿，合四尺五寸。课于垣厚五尺，是为不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得一尺七寸半。并之，以减垣厚五尺，有余三尺七寸半。以盈不足术求之，即得。
以后一日所穿乘日分子，如日分母而一，即各得日分子之中所穿。故各增二日定穿，即合所问也。〕
卷八
○方程（以御错糅正负）
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。
方程〔程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。行之左右无所同存，且为有所据而言耳。此都术也，以空言难晓，故特系之禾以决之。又列中、左行如右行也。〕
术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。
〔为术之意，令少行减多行，反复相减，则头位必先尽。上无一位，则此行亦阙一物矣。然而举率以相减，不害余数之课也。若消去头位，则下去一物之实。