《元史》（32/107）-明-宋濂

（本文为《元史》第 32/107 部分）

各视入转日及分秒，在转中已下，为疾历；已上，减去转中，为迟历。
迟疾转定及积度
表略
求迟疾差
置迟疾历日及分，以十二限二十分乘之，在初限已下为初限，已上覆减中限，余为末限。置立差三百二十五，以初末限乘之，加平差二万八千一百，又以初末限乘之，用减定差一千一百一十一万，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即迟疾差。
又术：置迟疾历日及分，以迟疾历日率减之，余以其下损益分乘之，如八百二十而一，益加损减其下迟疾度，亦为所求迟疾差。
求朔弦望定日
以经朔弦望盈缩差与迟疾差，同名相从，异名相消，盈迟缩疾为同名，盈疾缩迟为异名。以八百二十乘之，以所入迟疾限下行度除之，即为加减差，盈迟为加，缩疾为减。以加减经朔弦望日及分，即定朔弦望日及分。若定弦望分在日出分已下者，退一日，其日命甲子算外，各得定朔弦望日辰。定朔干名与后朔干同者，其月大；不同者，其月小；内无中气者，为闰月。
推定朔弦望加时日月宿度
置经朔弦望入盈缩历日及分，以加减差加减之，为定朔弦望入历，在盈，便为中积，在缩，加半岁周，为中积；命日为度，以盈缩差盈加缩减之，为加时定积度；以冬至加时日躔黄道宿度加而命之，各得定朔弦望加时日度。
凡合朔加时，日月同度，便为定朔加时月度，其弦望各以弦望度加定积，为定弦望月行定积度，依上加而命之，各得定弦望加时黄道月度。
推定朔弦望加时赤道月度
各置定朔弦望加时黄道月行定积度，满象限，去之，以其黄道积度减之，余以赤道率乘之，如黄道率而一，用加其下赤道积度及所去象限，各为赤道加时定积度；以冬至加时赤道日度加而命之，各为定朔弦望加时赤道月度及分秒。象限已下及半周，去之，为至后；满象限及三象，去之，为分后。
推朔后平交入转迟疾历
置交终日及分，内减经朔入交日及分，为朔后平交日；以加经朔入转，为朔后平交入转；在转中已下，为疾历；已上，去之，为迟历。
求正交日辰
置经朔，加朔后平交日，以迟疾历依前求到迟疾差，迟加疾减之，为正交日及分，其日命甲子算外，即正交日辰。
推正交加时黄道月度
置朔后平交日，以月平行度乘之，为距后度；以加经朔中积，为冬至距正交定积度；以冬至日躔黄道宿度加而命之，为正交加时月离黄道宿度及分秒。
求正交在二至后初末限
置冬至距正交积度及分，在半岁周已下，为冬至后；已上，去之，为夏至后。其二至后，在象限已下，为初限，已上，减去半岁周，为末限。
求定差距差定限度
置初末限度，以十四度六十六分乘之，如象限而一，为定差；反减十四度六十六分，余为距差。以二十四乘定差，如十四度六十六分而一；所得，交在冬至后名减，夏至后名加，皆加减九十八度，为定限度及分秒。
求四正赤道宿度
置冬至加时赤道度，命为冬至正度；以象限累加之，各得春分、夏至、秋分正积度；各命赤道宿次去之，为四正赤道宿度及分秒。
求月离赤道正交宿度
以距差加减春秋二正赤道宿度，为月离赤道正交宿度及分秒。冬至后，初限加，末限减，视春正；夏至后，初限减，末限加，视秋正。
求正交后赤道积度入初末限
各置春秋二正赤道所当宿全度及分，以月离赤道正交宿度及分减之，余为正交后积度；以赤道宿次累加之，满象限去之，为半交后；又去之，为中交后；再去之，为半交后；视各交积度在半象已下，为初限；已上，用减象限，余为末限。
求月离赤道正交后半交白道旧名九道出入赤道内外度及定差
置各交定差度及分，以二十五乘之，如六十一而一；所得，视月离黄道正交在冬至后宿度为减，夏至后宿度为加，皆加减二十三度九十分，为月离赤道后半交白道出入赤道内外度及分；以周天六之一，六十度八十七分六十二秒半，除之，为定差。月离赤道正交后为外，中交后为内。
求月离出入赤道内外白道去极度
置每日月离赤道交后初末限，用减象限，余为白道积；用其积度减之，余以其差率乘之；所得，百约之，以加其下积差，为每日积差；用减周天六之一，余以定差乘之，为每日月离赤道内外度；内减外加象限，为每日月离白道去极度及分秒。
求每交月离白道积度及宿次
置定限度，与初末限相减相乘，退位为分，为定差；正交、中交后为加，半交后为减。以差加减正交后赤道积度，为月离白道定积度；以前宿白道定积度减之，各得月离白道宿次及分。
推定朔弦望加时月离白道宿度
各以月离赤道正交宿度距所求定朔弦望加时月离赤道宿度，为正交后积度；满象限，去之，为半交后；又去之，为中交后；再去之，为半交后；视交后积度在半象已下，为初限；已上，用减象限，为末限；以初末限与定限度相减相乘，退位为分，分满百为度，为定差；正交中交后为加，半交后为减。以差加减月离赤道正交后积度，为定积度，以正交宿度加之，以其所当月离白道宿次去之，各得定朔弦望加时月离白道宿度及分秒。
求定朔弦望加时及夜半晨昏入转
置经朔弦望入转日及分，以定朔弦望加减差加减之，为定朔弦望加时入转；以定朔弦望日下分减之，为夜半入转；以晨分加之，为晨转；昏分加之，为昏转。
求夜半月度
置定朔弦望日下分，以其入转日转定度乘之，万约为加时转度，以减加时定积度，余为夜半定积度；依前加而命之，各得夜半月离宿度及分秒。
求晨昏月度
置其日晨昏分，以夜半入转日转定度乘之，万约为晨昏转度；各加夜半定积度，为晨昏定积度；加命如前，各得晨昏月离宿度及分秒。
求每日晨昏月离白道宿次

累计相距日数转定度，为转积度；与定朔弦望晨昏宿次前后相距度相减，余以相距日数除之，为日差；距度多为加，距度少为减。以加减每日转定度，为行定度；以累加定朔弦望晨昏月度，加命如前，即每日晨昏月离白道宿次。朔后用晨，望后用昏，朔望晨昏俱用。

宋濂-->元史-->志第七历四
志第七历四
○授时历经下
步中星第五
大都北极，出地四十度太强。
冬至，去极一百一十五度二十一分七十三秒。
夏至，去极六十七度四十一分一十三秒。
冬至昼，夏至夜，三千八百一十五分九十二秒。
夏至昼，冬至夜，六千一百八十四分八秒。
昏明，二百五十分。
黄道出入赤道内外去极度及半昼夜分
表略
求每日黄道出入赤道内外去极度
置所求日晨前夜半黄道积度，满半岁周，去之，在象限已下，为初限；已上，复减半岁周，余为入末限；满积度，去之，余以其段内外差乘之，百约之，所得，用减内外度，为出入赤道内外度；内减外加象限，即所求去极度及分秒。
求每日半昼夜及日出入晨昏分
置所求入初末限，满积度，去之，余以昼夜差乘之，百约之，所得，加减其段半昼夜分，为所求日半昼夜分；前多后少为减，前少后多为加。以半夜分便为日出分，用减日周，余为日入分；以昏明分减日出分，余为晨分；加日入分，为昏分。
求昼夜刻及日出入辰刻
置半夜分，倍之，百约，为夜刻；以减百刻，余为昼刻；以日出入分依发敛求之，即得所求辰刻。
求更点率
置晨分，倍之，五约，为更率；又五约更率，为点率。
求更点所在辰刻
置所求更点数，以更点率乘之，加其日昏分，依发敛求之，即得所求辰刻。
求距中度及更差度
置半日周，以其日晨分减之，余为距中分；以三百六十六度二十五分七十五秒乘之，如日周而一，所得，为距中度；用减一百八十三度一十二分八十七秒半，倍之，五除，为更差度及分。
求昏明五更中星
置距中度，以其日午中赤道日度加而命之，即昏中星所临宿次，命为初更中星；以更差度累加之，满赤道宿次去之，为逐更及晓中星宿度及分秒。其九服所在昼夜刻分及中星诸率，并准随处北极出地度数推之。已上诸率，与晷漏所推自相符契。
求九服所在漏刻
各于所在以仪测验，或下水漏，以定其处冬至或夏至夜刻，与五十刻相减，余为至差刻。置所求日黄道，去赤道内外度及分，以至差刻乘之，进一位，如二百三十九而一，所得内减外加五十刻，即所求夜刻；以减百刻，余为昼刻。其日出入辰刻及更点等率，依术求之。
步交会第六
交终分，二十七万二千一百二十二分二十四秒。
交终，二十七日二千一百二十二分二十四秒。
交中，十三日六千六十一分一十二秒。
交差，二日三千一百八十三分六十九秒。
交望，十四日七千六百五十二分九十六秒半。
交应，二十六万一百八十七分八十六秒。
交终，三百六十三度七十九分三十四秒。
交中，一百八十一度八十九分六十七秒。
正交，三百五十七度六十四分。
中交，一百八十八度五分。
日食阳历限，六度。定法，六十。
阴历限，八度。定法，八十。
月食限，十三度五分。定法，八十七。
推天正经朔入交
置中积，加交应，减闰余，满交终分，去之；不尽，以日周约之为日，不满为分秒，即天正经朔入交泛日及分秒。上考者，中积内加所求闰余，减交应，满交终去之，不尽，以减交终，余如上。
求次朔望入交
置天正经朔入交泛日及分秒，以交望累加之，满交终日，去之，即为次朔望入交泛日及分秒。
求定朔望及每日夜半入交
各置入交泛日及分秒，减去经朔望小余，即为定朔望夜半入交。若定日有增损者，亦如之。否则因经为定，大月加二日，小月加一日，余皆加七千八百七十七分七十六秒，即次朔夜半入交；累加一日，满交终日，去之，即每日夜半入交泛日及分秒。
求定朔望加时入交
置经朔望入交泛日及分秒，以定朔望加减差加减之，即定朔望加时入交日及分秒。
求交常交定度
置经朔望入交泛日及分秒，以月平行度乘之，为交常度；以盈缩差盈加缩减之，为交定度。
求日月食甚定分
日食：视定朔分在半日周已下，去减半周，为中前；已上，减去半周，为中后；与半周相减、相乘，退二位，如九十六而一，为时差；中前以减，中后以加，皆加减定朔分，为食甚定分；以中前后分各加时差，为距午定分。
月食：视定望分在日周四分之一已下，为卯前；已上，覆减半周，为卯后；在四分之三已下，减去半周，为酉前；已上，覆减日周，为酉后。以卯酉前后分自乘，退二位，如四百七十八而一，为时差；子前以减，子后以加，皆加减定望分，为食甚定分；各依发敛求之，即食甚辰刻。
求日月食甚入盈缩历及日行定度
置经朔望入盈缩历日及分，以食甚日及定分加之，以经朔望日及分减之，即为食甚入盈缩历；依日躔术求盈缩差，盈加缩减之，为食甚入盈缩历定度。
求南北差
视日食甚入盈缩历定度，在象限已下，为初限；已上，用减半岁周，为末限；以初末限度自相乘，如一千八百七十而一，为度，不满，退除为分秒；用减四度四十六分，余为南北泛差；以距午定分乘之，以半昼分除之，所得，以减泛差，为定差。泛差不及减者，反减之为定差，应加者减之，应减者加之。在盈初缩末者，交前阴历减，阳历加，交后阴历加，阳历减；在缩初盈末者，交前阴历加，阳历减，交后阴历减，阳历加。
求东西差
视日食甚入盈缩历定度，与半岁周相减相乘，如一千八百七十而一，为度，不满，退除为分秒，为东西泛差；以距午定分乘之，以日周四分之一除之，为定差。若在泛差已上者，倍泛差减之，余为定差，依其加减。在盈中前者，交前阴历减，阳历加；交后阴历加，阳历减；中后者，交前阴历加，阳历减；交后阴历减，阳历加。在缩中前者，交前阴历加，阳历减；交后阴历减，阳历加；中后者，交前阴历减，阳历加；交后阴历加，阳历减。
求日食正交中交限度
置正交、中交度，以南北东西差加减之，为正交、中交限度及分秒。
求日食入阴阳历去交前后度
视交定度，在中交限已下，以减中交限，为阳历交前度；已上，减去中交限，为阴历交后度；在正交限已下，以减正交限，为阴历交前度；已上，减去正交限，为阳历交后度。
求月食入阴阳历去交前后度
视交定度，在交中度已下，为阳历；已上，减去交中，为阴历。视入阴阳历，在后准十五度半已下，为交后度；前准一百六十六度三十九分六十八秒已上，覆减交中，余为交前度及分。
求日食分秒
视去交前后度，各减阴阳历食限，不及减者不食。余如定法而一，各为日食之分秒。
求月食分秒
视去交前后度，不用南北东西差者。用减食限，不及减者不食。余如定法而一，为月食之分秒。
求日食定用及三限辰刻
置日食分秒，与二十分相减、相乘，平方开之，所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，为定用分；以减食甚定分，为初亏；加食甚定分，为复圆；依发敛求之，为日食三限辰刻。
求月食定用及三限五限辰刻
置月食分秒，与三十分相减、相乘，平方开之；所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，为定用分；以减食甚定分，为初亏；加食甚定分，为复圆；依发敛求之，即月食三限辰刻。
月食既者，以既内分与一十分相减、相乘，平方开之，所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，为既内分；用减定用分，为既外分；以定用分减食甚定分，为初亏；加既外，为食既；又加既内，为食甚；再加既内，为生光；复加既外，为复圆；依发敛求之，即月食五限辰刻。
求月食入更点
置食甚所入日晨分，倍之，五约，为更法；又五约更法，为点法。乃置初末诸分，昏分已上，减去昏分，晨分已下，加晨分，以更法除之，为更数；不满，以点法收之，为点数；其更点数，命初更初点算外，各得所入更点。
求日食所起
食在阳历，初起西南，甚于正南，复于东南；食在阴历，初起西北，甚于正北，复于东北；食八分已上，初起正西，复于正东。此据午地而论之。
求月食所起
食在阳历，初起东北，甚于正北，复于西北；食在阴历，初起东南，甚于正南，复于西南；食八分已上，初起正东，复于正西。此亦据午地而论之。
求日月出入带食所见分数
视其日日出入分，在初亏已上、食甚已下者，为带食。各以食甚分与日出入分相减，余为带食差；以乘所食之分，满定用分而一，如月食既者，以既内分减带食差，余进一位，如既外分而一，所得，以减既分，即月带食出入所见之分；不及减者，为带食既出入。以减所食分，即日月出入带食所见之分。其食甚在昼，晨为渐进，昏为已退；其食甚在夜，晨为已退，昏为渐进。
求日月食甚宿次
置日月食甚入盈缩历定度，在盈，便为定积；在缩，加半岁周，为定积。望即更加半周天度。以天正冬至加时黄道日度，加而命之，各得日月食甚宿次及分秒。
步五星第七
历度
三百六十五度二十五分七十五秒。
历中
一百八十二度六十二分八十七秒半。
历策
一十五度二十一分九十秒六十二微半。
木星
周率，三百九十八万八千八百分。
周日，三百九十八日八十八分。
历率，四千三百三十一万二千九百六十四分八十六秒半。
度率，一十一万八千五百八十二分。
合应，一百一十七万九千七百二十六分。
历应，一千八百九十九万九千四百八十一分。
盈缩立差，二百三十六加。
平差，二万五千九百一十二减。
定差，一千八十九万七千。
伏见，一十三度。
表略
火星
周率，七百七十九万九千二百九十分。
周日，七百七十九日九十二分九十秒。
历率，六百八十六万九千五百八十分四十三秒。
度率，一万八千八百七分半。
合应，五十六万七千五百四十五分。
历应，五百四十七万二千九百三十八分。
盈初缩末立差，一千一百三十五减。
平差，八十三万一千一百八十九减。
定差，八千八百四十七万八千四百。
缩初盈末立差，八百五十一加。
平差，三万二百三十五负减。
定差，二千九百九十七万六千三百。
伏见，一十九度。
表略
土星
周率，三百七十八万九百一十六分。
周日，三百七十八日九分一十六秒。
历率，一亿七百四十七万八千八百四十五分六十六秒。
度率，二十九万四千二百五十五分。
合应，一十七万五千六百四十三分。
历应，五千二百二十四万五百六十一分。
盈立差，二百八十三加。
平差，四万一千二十二减。
定差，一千五百一十四万六千一百。
缩立差，三百三十一加。
平差，一万五千一百二十六减。
定差，一千一百一万七千五百。
伏见，一十八度。
表略
金星
周率，五百八十三万九千二十六分。
周日，五百八十三日九十分二十六秒。
历率，三百六十五万二千五百七十五分。
度率，一万。
合应，五百七十一万六千三百三十分。
历应，一十一万九千六百三十九分。
盈缩立差，一百四十一加。
平差，三减。
定差，三百五十一万五千五百。
伏见，一十度半。
表略
水星
周率，一百一十五万八千七百六十分。
周日，一百一十五日八十七分六十秒。
历率，三百六十五万二千五百七十五分。
度率，一万。
合应，七十万四百三十七分。
历应，二百五万五千一百六十一分。
盈缩立差，一百四十一加。
平差，二千一百六十五减。
定差，三百八十七万七千。
晨伏夕见，一十六度半。
夕伏晨见，一十九度。
表略
推天正冬至后五星平合及诸段中积中星
置中积，加合应，以其星周率去之，不尽，为前合；复减周率，余为后合；以日周约之，得其星天正冬至后平合中积中星。命为日，日中积；命为度，日中星。以段日累加中积，即诸段中积；以平度累加中星，经退则减之，即为诸段中星。
上考者,中积内减合应,满周率去之，不尽，便为所求后合分。
推五星平合及诸段入历
各置中积，加历应及所求后合分，满历率，去之；不尽，如度率而一为度，不满，退除为分秒，即其星平合入历度及分秒；以诸段限度累加之，即诸段入历。上考者，中积内减历应，满历率去之，不尽，反减历率，余加其年后合，余同上。
求盈缩差
置入历度及分秒，在历中已下，为盈；已上，减去历中，余为缩。视盈缩历，在九十一度三十一分四十三秒太已下，为初限；已上，用减历中，余为末限。
其火星，盈历在六十度八十七分六十二秒半已下，为初限；已上，用减历中，余为末限。
置各星立差，以初末限乘之，去加减平差，得，又以初末限乘之，去加减定差，再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即所求盈缩差。
又术：置盈缩历，以历策除之，为策数，不尽为策余；以其下损益率乘之，历策除之，所得，益加损减其下盈缩积，亦为所求盈缩差。
求平合诸段定积
各置其星其段中积，以其盈缩差盈加缩减之，即其段定积日及分秒；以天正冬至日分加之，满纪法去之，不满，命甲子算外，即得日辰。
求平合及诸段所在月日
各置其段定积，以天正闰日及分加之，满朔策，除之为月数，不尽，为入月已来日数及分秒。其月数，命天正十一月算外，即其段入月经朔日数及分秒；以日辰相距，为所在定朔月日。
求平合及诸段加时定星
各置其段中星，以盈缩差盈加缩减之，金星倍之，水星三之。即诸段定星；以天正冬至加时黄道日度加而命之，即其星其段加时所在宿度及分秒。
求诸段初日晨前夜半定星
各以其段初行率，乘其段加时分，百约之，乃顺减退加其日加时定星，即其段初日晨前夜半定星；加命如前，即得所求。
求诸段日率度率
各以其段日辰距后段日辰为日率，以其段夜半宿次与后段夜半宿次相减，余为度率。
求诸段平行分
各置其段度率，以其段日率除之，即其段平行度及分秒。
求诸段增减差及日差
以本段前后平行分相减，为其段泛差；倍而退位，为增减差；以加减其段平行分，为初末日行分。前多后少者，加为初，减为末；前少后多者，减为初，加为末。倍增减差，为总差；以日率减一，除之，为日差。
求前后伏迟退段增减差
前伏者，置后段初日行分，加其日差之半，为末日行分。
后伏者，置前段末日行分，加其日差之半，为初日行分；以减伏段平行分，余为增减差。
前迟者，置前段末日行分，倍其日差，减之，为初日行分。
后迟者，置后段初日行分，倍其日差，减之，为末日行分；以迟段平行分减之，余为增减差。前后近留之迟段。
木火土三星，退行者，六因平行分，退一位，为增减差。
金星，前后退伏者，三因平行分，半而退位，为增减差。
前退者，置后段初日行分，以其日差减之，为末日行分。
后退者，置前段末日行分，以其日差减之，为初日行分；乃以本段平行分减之，余为增减差。
水星，退行者，半平行分，为增减差；皆以增减差加减平行分，为初末日行分。前多后少者，加为初，减为末；前少后多者，减为初，加为末。又倍增减差，为总差；以日率减一，除之，为日差。
求每日晨前夜半星行宿次
各置其段初日行分，以日差累损益之，后少则损之，后多则益之，为每日行度及分秒；乃顺加退减，满宿次去之，即每日晨前夜半星行宿次。
求五星平合见伏入盈缩历
置其星其段定积日及分秒，若满岁周日及分秒，去之，余在次年天正冬至后。
如在半岁周已下，为入盈历；满半岁周，去之，为入缩历；各在初限已下，为初限；已上，反减半岁周，余为末限；即得五星平合见伏入盈缩历日及分秒。
求五星平合见伏行差
各以其星其段初日星行分，与其段初日太阳行分相减，余为行差。若金、水二星退行在退合者，以其段初日星行分，并其段初日太阳行分，为行差；内水星夕伏晨见者，直以其段初日太阳行分为行差。
求五星定合定见定伏泛积
木火土三星，以平合晨见夕伏定积日，便为定合伏见泛积日及分秒。
金水二星，置其段盈缩差度及分秒，水星倍之。各以其段行差除之，为日，不满，退除为分秒。在平合夕见晨伏者，盈减缩加；在退合夕伏晨见者，盈加缩减；各以加减定积为定合伏见泛积日及分秒。
求五星定合定积定星
木火土三星，各以平合行差除其段初日太阳盈缩积，为距合差日；不满，退除为分秒，以太阳盈缩积减之，为距合差度。各置其星定合泛积，以距合差日盈减缩加之，为其星定合定积日及分秒；以距合差度盈减缩加之，为其星定合定星度及分秒。
金水二星，顺合退合者，各以平合退合行差，除其日太阳盈缩积，为距合差日；不满，退除为分秒，顺加退减太阳盈缩积，为距合差度。顺合者，盈加缩减其星定合泛积，为其星定合定积日及分秒；退合者，以距合差日盈减缩加、距合差度盈加缩减其星退定合泛积，为其星退定合定积日及分秒；命之，为退定合定星度及分秒。以天正冬至日及分秒，加其星定合定积日及分秒，满旬周，去之，命甲子算外，即得定合日辰及分秒。以天正冬至加时黄道日度及分秒，加其星定合定星度及分秒，满黄道宿次，去之，即得定合所躔黄道宿度及分秒。径求五星合伏定日：木、火、土三星，以夜半黄道日度，减其星夜半黄道宿次，余在其日太阳行分已下，为其日伏合；金、水二星，以其星夜半黄道宿次，减夜半黄道日度，余在其日金、水二星行分已下者，为其日伏合。金、水二星伏退合者，视其日太阳夜半黄道宿次，未行到金、水二星宿次，又视次日太阳行过金、水二星宿次，金、水二星退行过太阳宿次，为其日定合伏退定日。
求木火土三星定见伏定积日
各置其星定见定伏泛积日及分秒，晨加夕减九十一日三十一分六秒，如在半岁周已下，自相乘，已上，反减岁周，余亦自相乘，满七十五，除之为分，满百为度，不满，退除为秒；以其星见伏度乘之，一十五除之；所得，以其段行差除之，为日，不满，退除为分秒；见加伏减泛积，为其星定见伏定积日及分秒；加命如前，即得定见定伏日辰及分秒。
求金水二星定见伏定积日

各以伏见日行差，除其段初日太阳盈缩积，为日，不满，退除为分秒；若夕见晨伏，盈加缩减；如晨见夕伏，盈减缩加；以加减其星定见定伏泛积日及分秒，为常积。如在半岁周已下，为冬至后；已上，去之，余为夏至后。各在九十一日三十一分六秒已下，自相乘，已上，反减半岁周，亦自相乘。冬至后晨，夏至后夕，一十八而一，为分；冬至后夕，夏至后晨，七十五而一，为分；又以其星见伏度乘之，一十五除之；所得，满行差，除之，为日，不满，退除为分秒，加减常积，为定积。在晨见夕伏者，冬至后加之，夏至后减之；夕见晨伏者，冬至后减之，夏至后加之；为其星定见定伏定积日及分秒；加命如前，即得定见定伏日晨及分秒。

宋濂-->元史-->志第八历五
志第八历五
○庚午元历上
演纪上元庚午，距太祖庚辰岁，积年二千二十七万五千二百七十算外，上考往古，每年减一算，下验将来，每年加一算。
步气朔术
日法，五千二百三十。
岁实，一百九十一万二百二十四。
通余，二万七千四百二十四。
朔实，一十五万四千四百四十五。
通闰，五万六千八百八十四。
岁策，三百六十五，余一千二百七十四。
朔策，二十九，余二千七百七十五。
气策，一十五，余一千一百四十二，秒六十。
望策，一十四，余四千二，秒四十五。
象策，七，余二千一，秒二十二半。
没限，四千八十七，秒三十。
朔虚分，二千四百五十五。
旬周，三十一万三千八百。
纪法，六十。
秒母，九十。
求天正冬至
置上元庚午以来积年，以岁实乘之，为通积分；满旬周，去之，不尽，以日法约之，为日，不盈，为余；命壬戌算外，即得所求天正冬至大小余也。先以里差加减通积分，然后求之。求里差术，具《月离》篇中。
求次气
置天正冬至大小余，以气策及余累加之，秒盈秒母从分，分满日法从日，即得次气日及余分秒。
求天正经朔
置通积分，满朔实去之，不尽，为闰余；以减通积分，为朔积分；满旬周，去之，不尽，如日法而一，为日，不尽，为余，即得所求天正经朔大小余也。
求弦望及次朔
置天正经朔大小余，以象策累加之，即各得弦望及次朔经日及余秒也。
求没日
置有没之气恆气小余，如没限以上，为有没之气；以秒母乘之，内其秒，用减四十七万七千五百五十六；余，满六千八百五十六而一；所得并入恆气大余内，命壬戌算外，即得为没日也。
求灭日
置有灭之朔小余，经朔小余不满朔虚分者。六因之，如四百九十一而一；所得并经朔大余，命为灭日。
步卦候发敛术
候策，五，余三百八十，秒八十。
卦策，六，余四百五十七，秒六。
贞策，三，余二百二十八，秒四十八。
秒母，九十。
辰法，二千六百一十五。
半辰法，一千三百七半。
刻法，三百一十三，秒八十。
辰刻，八，分一百四，秒六十。
半辰刻，四，分五十二，秒三十。
秒母，一百。
求七十二候
置节气大小余，命之为初候；以候策累加之，即得次候及末候也。
求六十四卦
置中气大小余，命之为公卦；以卦策累加之，得辟卦；又加，得候内卦；以贞策加之，得节气之初，为候外卦；又以贞策加之，得大夫卦；又以卦策加之，为卿卦也。
求土王用事
以贞策减四季中气大小余，即得土王用事日也。
求发敛
置小余，以六因之，如辰法而一，为辰数；不尽，以刻法除为刻，命子正算外，即得加时所在辰刻分也。如加半辰法，即命子初。
求二十四气卦候
以下表格略
步日躔术
周天分，一百九十一万二百九十二，秒九十八。
岁差，六十八，秒九十八。
秒母，一百。
周天度，三百六十五，分二十五，秒六十七。
象限，九十一，分三十一，秒九。
分秒母，一百。
二十四气日积度盈缩
表略
二十四气中积及朓朒
表略
求每日盈缩朓朒
各置其气损益率，求盈缩，用盈缩之损益；求朓朒，用朓朒之损益。六因，如象限而一，为其气中率；与后气中率相减，为合差；半合差，加减其气中率，为元末泛率，至后，加初减末；分后,减初加末。又置合差，六因，如象限而一，为日差；半之，加减初末泛率，为初末定率；至后，减初加末；分后，加初减末。以日差累加减气初定率,为每日损益分；至后，减；分后，加。
各以每日损益分加减气下盈缩朓朒，为每日盈缩朓朒。二分前一气无后率相减为合差者，皆用前气合差。
求经朔弦望入气
置天正闰余，以日法除为日，不满，为余。如气策以下，以减气策，为入大雪气；以上，去之，余亦以减气策，为入小雪气；即得天正经朔入气日及余也。以象策累加之，满气策去之，即为弦望入次气日及余；因加得后朔入气日及余也。便为中朔望入气。
求每日损益盈缩朓朒
以日差益加损减其气初损益率，为每日损益率；驯积损益其气盈缩朓朒积，为每日盈缩朓朒积。
求经朔弦望入气朓朒定数
以各所求入气小余，以乘其日损益率，如日法而一；所得，损益其下朓朒积，为定数。便为中朔弦望朓朒定数。
赤道宿度
斗二十五〓〓牛七少〓〓女十一少〓〓虚九少六十七秒〓〓危十五度半〓〓室十七〓〓壁八太
右北方七宿，九十四度六十七秒。〓
奎十六半〓〓娄十二〓〓胃十五〓〓昴十一少〓〓毕十七少〓觜半〓参十半〓
右西方七宿，八十三度。
井三十三少〓鬼二半〓柳十三太〓星六太〓张十七少〓翼十八〓轸十七
右南方七宿，一百九度少。
角十二〓亢九少〓氐十六〓房五太〓心六少〓尾十九少〓箕十半
右东方七宿，七十九度。
求冬至赤道日度
置通积分，以周天分去之；余，日法而一，为度，不满，退除为分秒；以百为母，命起赤道虚宿六度外，去之，不满宿，即得所求年天正冬至加时日躔赤道宿度及分秒。其在寻斯干之东西者，先以里差加减通积分。
求春分夏至秋分赤道日度
置天正冬至加时赤道日度，累加象限，满赤道宿次，去之，即各得春分、夏至、秋分加时日在宿度及分秒。
求四正赤道宿积度
置四正赤道宿全度，以四正赤道日度及分秒减之，余为距后度；以赤道宿度累加之，各得四正后赤道宿积度及分秒。
求赤道宿积度入初末限
视四正后赤道宿积度及分，在四十五度六十五分五十四秒半以下，为入初限；以上者，用减象限，余为入末限。
求二十八宿黄道度
置四正后赤道宿入初末限度及分，减一百一度；余，以初末限度及分乘之，进位，满百为分，分满百为度；至后以减、分后以加赤道宿积度，为其宿黄道积度；以前宿黄道积度减之，其四正之宿，先加象限，然后以前宿减之。
为其宿黄道度及分。其分就近约为太半少。
黄道宿度
斗二十三〓牛七〓女十一〓虚九少六十七秒〓危十六〓室十八少〓壁九半
右北方七宿，九十四度六十七秒。
奎十七太〓娄十二太〓胃十五半〓昴十二〓毕十六半〓觜半〓参九太
右西方七宿，八十三度太。
井三十半〓鬼二半〓柳十三少〓星六太〓张十七太〓翼二十〓轸十八半
右南方七宿，一百九度少。
角十二太〓亢九太〓氐十六少〓房五太〓心六〓尾十八少〓箕九半
右东方七宿，七十八度少。
前黄道宿度，依今历岁差所在算定。如上考往古，下验将来，当据岁差，每移一度，依术推变当时宿度，然后可步七曜，知其所在。
求天正冬至加时黄道日度
以冬至加时赤道日度分秒，减一百一度，余以冬至加时赤道日度及分秒乘之，进位，满百为分，分满百为度，命曰黄赤道差；用减冬至加时赤道日度及分秒，即得所求年天正冬至加时黄道日度及分秒。
求二十四气加时黄道日度
置所求年冬至日躔黄赤道差，以次年黄赤道差减之，余以所求气数乘之，二十四而一；所得，以加其气中积度及约分，以其气初日盈缩数盈加缩减之，用加冬至加时黄道日度，依宿次去之，即各得其气加时黄道日躔宿度及分秒。如其年冬至加时赤道宿度空分秒在岁差以下者，即加前宿全度，然求黄赤道差，余依术算。
求二十四气及每日晨前夜半黄道日度
副置其恆气小余，以其气初日损益率乘之，盈缩之损益。万约之，应益者盈加缩减，应损者盈减缩加，其副日法除之，为度，不满，退除为分秒，以减其气加时黄道日度，即得其气初日晨前夜半黄道日度。每日加一度，以万乘之，又以每日损益数，盈缩之损益。应益者盈加缩减，应损者盈减缩加，为每日晨前夜半黄道日度及分秒。
求每日午中黄道日度
置一万分，以所求入气日损益数加减，益者，盈加缩减；损者，盈减缩加。半之，满百为分，不满为秒，以加其日晨前夜半黄道日度，即其日午中日躔黄道宿度及分秒。
求每日午中黄道积度
以二至加时黄道日度，距至所求日午中黄道日度，为入二至后黄道日积度及分秒。
求每日午中黄道入初末限
视二至后黄道积度，在四十三度一十二分八十七秒之以下为初限；以上，用减象限，余为入末限。其积度，满象限去之，为二分后黄道积度；在四十八度一十八分二十一秒之以下，为初限；以上，用减象限，余为入末限。
求每日午中赤道日度
以所求日午中黄道积度，入至后初限、分后末限度及分秒，进三位，加二十万二千五十少，开平方除之，所得减去四百四十九半，余在初限者，直以二至赤道日度加而命之；在末限者，以减象限，余以二分赤道日度加而命之，即每日午中赤道日度。
以所求日午中黄道积度，入至后末限、分后初限度及分秒，进三位，用减三十万三千五十少，开平方除之，所得，以减五百五十半，其在初限者，以所减之余，直以二分赤道日度加而命之；在末限者，以减象限，余以二至赤道日度加而命之，即每日午中赤道日度。
太阳黄道十二次入宫宿度
危〓十三度三十九分五十九秒外入卫分陬訾之次，辰在亥。
奎〓二度三十五分八十五秒外入鲁分降娄之次，辰在戌。
胃〓四度二十四分三十三秒外入赵分大梁之次，辰在酉。
毕〓七度九十六分二十秒外入晋分实沈之次，辰在申。
井〓九度四十七分一十秒外入秦分鹑首之次，辰在未。
柳〓四度九十五分二十六秒外入周分鹑火之次，辰在午。
张〓十五度五十六分三十五秒外入楚分鹑尾之次，辰在巳。
轸〓十度四十四分五秒外入郑分寿星之次，辰在辰。
氐〓一度七十七分七十七秒外入宋分大火之次，辰在卯。
尾〓三度九十七分七十二秒外入燕分析木之次，辰在寅。
斗〓四度三十六分六十六秒外入吴越分星纪之次，辰在丑。
女〓二度九十一分九十一秒外入齐分玄枵之次，辰在子。
求入宫时刻
各置入宫宿度及分秒，以其日晨前夜半日度减之，相近一度之间者求之。余以日法乘其分，其秒从于下，亦通乘之。为实；以其日太阳行分为法；实如法而一，所得，依发敛加时求之，即得其日太阳入宫时刻及分秒。
步晷漏术
中限，一百八十二日六十二分一十八秒。
冬至初限、夏至末限，六十二日二十分。
夏至初限、冬至末限，一百二十日四十二分。
冬至永安晷影常数，一丈二尺八寸三分。
夏至永安晷影常数，一尺五寸六分。
周法，一千四百二十八。
内外法，一万八百九十六。
半法，二千六百一十五。
日法四分之三，三千九百二十二半。
日法四分之一，一千三百七半。
昏明分，一百三十分七十五秒。
昏明刻，二刻一百五十六分九十秒。
刻法，三百一十三分八十秒。
秒母，一百。
求午中入气中积
置所求日大余及半法，以所入气大小余减之，为其日午中入气；以加其气中积，为其日午中中积。小余以日法除，为约分。
求二至后午中入初末限
置午中中积及分，如中限以下，为冬至后；以上，去中限，为夏至后。其二至后，如在初限以下，为初限；以上，覆减中限，余为入末限也。
求午中晷影定数
视冬至后初限、夏至后末限，百通日内分，自相乘，副置之，以一千四百五十除之；所得，加五万三百八，折半限分并之，除其副为分，分满十为寸，寸满十为尺，用减冬至地中晷影常数，为所求晷影定数。
视夏至后初限、冬至后末限，百通日内分，自相乘，为上位；下置入限分，以二百二十五乘之，百约之，加一十九万八千七十五，为法；夏至前后半限以上者，减去半限，列于上位，下置半限，各百通日内分，先相减,后相乘，以七千七百除之,所得以加其法。及除上位为分，分满十为寸，寸满十为尺，用加夏至地中晷影常数，为所求晷影定数。
求四方所在晷影
各于其处测冬夏二至晷数，乃相减之，余为其处二至晷差；亦以地中二至晷数相减，为地中二至晷差。其所求日在冬至后初限、夏至后末限者，如在半限以下，倍之；半限以上，覆减全限，余亦倍之；并入限日，三因，折半，以日为分，十分为寸，以减地中二至晷差，为法；置地中冬至晷影常数，以所求日地中晷影定数减之，余以其处二至晷差乘之，为实；实如法而一，所得，以减其处冬至晷数，即得其处其日晷影定数。所求日在夏至后初限、冬至后末限者，如在半限以下，倍之；半限以上，覆减全限，余亦倍之；并入限日，三因，四除，以日为分，十分为寸，以加地中二至晷差，为法；置所求日地中晷影定数，以地中夏至晷影常数减之，余以其处二至晷差乘之，为实；实如法而一，所得，以加其处夏至晷数，即得其处其日晷影定数。
二十四气陟降及日出分
以下表格略
二分前后陟降率
春分前三日，太阳入赤道内，秋分后三日，太阳出赤道外，故其陟降与他日不伦，今各别立数而用之。
惊蛰，十二日陟四。六十七、一十六。此为末率，于此用毕。其减差亦止于此也。
十三日陟四。四十一、六。十四日陟四。三十八、九十。
十五日陟四。
秋分，初日降四。三十八。一日降四。二十九。二日降四。五十九。三日降四。六十八。
此为初率，始用之。其加差亦始于此也。
求每日日出入晨昏半昼分
各以陟降初率，陟减降加其气初日日出分，为一日下日出分；以增损差仍加减加减差。增损陟降率，驯积而加减之，即为每日日出分；覆减日法，余为日入分；以日出分减日入分，半之，为半昼分；以昏明分减日出分，为晨分；加日入分，为昏分。
求日出入辰刻
置日出入分，以六因之，满辰法而一，为辰数；不尽，刻法除之，为刻，不满为分。命子正算外，即得所求。
求昼夜刻
置日出分，十二乘之，刻法而一，为刻，不满为分，即为夜刻；覆减一百，余为昼刻及分秒。
求更点率
置晨分，四因之，退位，为更率；二因更率，退位，为点率。
求更点所在辰刻
置更点率，以所求更点数因之，又六因之，内加更筹刻，满辰法而一，为辰数；不尽，满刻法，除之，为刻数；不满，为分；命其日辰刻算外，即得所求。
求四方所在漏刻
各于所在下水漏,以定其处冬至或夏至夜刻，乃与五十刻相减，余为至差刻。置所求日黄道去赤道内外度及分，以至差刻乘之，进一位，如二百三十九而一，为刻；不尽，以刻法乘之，退除为分；内减外加五十刻，即得所求日夜刻；以减百刻，余为昼刻。其日出入辰刻及更点差率等，并依前术求之。
求黄道内外度
置日出之分，如日法四分之一以上，去之，余为外分；如日法四分之一以下，覆减之，余为内分。置内外分，千乘之，如内外法而一，为度，不满，退除为分秒，即为黄道去赤道内外度；内减外加象限，即得黄道去极度。
求距中度及更差度
置半法，以晨分减之，余为距中分；百乘之，如周法而一，为距中度；用减一百八十三度一十二分八十三秒半，余四因，退位，为每更差度。
求昏明五更中星
置距中度，以其日午中赤道日度加而命之，即昏中星所格宿次，因为初更中星；以更差度累加之，满赤道宿次，去之，即得逐更及明中星。
步月离术
转终分，一十四万四千一百一十，秒六千二十，微六十。
转终日，二十七，余二千九百，秒六千二十，微六十。
转中日，一十三，余四千六十五，秒三千一十，微三十。
朔差日，一，余五千一百四，秒三千九百七十九，微四十。
象策，七，余二千一，秒二千五百。
秒母，一万。
微母，一百。
上弦度，九十一，分三十一，秒四十一太。
望度，一百八十二，分六十二，秒八十三半。
下弦度，二百七十三，分九十四，秒二十五少。
月平行度，十三，分三十六，秒八十七半。
分秒母，一百。
七日初数，四千六百四十八，末数，五百八十二。
十四日初数，四千六十五，末数，一千一百六十五。
二十一日初数，三千四百八十三，末数，一千七百四十七。
二十八日初数，二千九百一。
求经朔弦望入转凡称秒者，微从之，他仿此。
置天正朔积分，以转终分及秒去之，不尽，如日法而一，为日，不满为余秒，即天正十一月经朔入转日及余秒；以象策累加之，去命如前，得弦望经日加时入转及余秒；径求次朔入转，即以朔差加之。加减里差，即得中朔弦望入转及余秒。
以下表格略
求中朔弦望入转朓朒定数
置入转小余，以其日算外损益率乘之，如日法而一，所得，以损益朓朒积，为定数。其四七日下余，如初数以下，初率乘之，如初数而一，以损益朓朒积，为定数；如初数以上，以初数减之，余乘末率，如末数而一，用减初率，余如朓朒积，为定数。其十四日下余，如初数以上，以初数减之，余乘末率，如末数而一，为朓朒定数。
求朔弦望中日
以寻斯干城为准，置相去地里，以四千三百五十九乘之，退位，万约为分，曰里差；以加减经朔弦望小余，满与不足，进退大余，即中朔弦望日及余。以东加之，以西减之。
求朔弦望定日
置中朔弦望小余，朓减朒加入气入转朓朒定数，满与不足，进退大余，命壬戌算外，各得定朔弦望日辰及余。定朔干名与后朔同者，其月大；不同者，其月小；月内无中气者，为闰。视定朔小余，秋分后在日法四分之三以上者，进一日；春分后，定朔日出分与春分日出分相减之，余者，三约之，用减四分之三；定朔小余及此分以上者，亦进一日；或有交，亏初于日入前者，不进之。定弦望小余，在日出分以下者，退一日；或有交，亏初于日出前者，小余虽在日出后，亦退之。如望在十七日者，又视定朔小余在四分之三以下之数，春分后用减定之数。与定望小余在日出分以上之数相校之，朔少望多者，望不退，而朔犹进之；望少朔多者，朔不进，而望犹退之。日月之行，有盈缩迟疾；加减之数，或有四大三小。若循常当察加时早晚，随所近而进退之，使不过四大三小。
求定朔弦望中积
置定朔弦望小余，与中朔弦望小余相减之，余以加减经朔弦望入气日余，中朔弦望，少即加之，多即减之。即为定朔弦望入气；以加其气中积，即为定朔弦望中积。其余，以日法退除为分秒。
求定朔弦望加时日度
置定朔弦望约余，以所入气日损益率乘之，盈缩之损益。万约之，以损益其下盈缩积，乃盈加缩减定朔弦望中积，又以冬至加时日躔黄道宿度加之，依宿次去之，即得定朔弦望加时日所在度分秒。
又法：置定朔弦望约余，副之，以乘其日盈缩之损益率，万约之，应益者盈加缩减，应损者盈减缩加，其副满百为分，分满百为度，以加其日夜半日度，命之，各得其日加时日躔黄道宿次。若先于历中注定每日夜半日度，即用此法为准也。
求定朔弦望加时月度
凡合朔加时日月同度，其定朔加时黄道日度即为定朔加时黄道月度；弦望，各以弦望度加定朔弦望加时黄道日度，依宿次去之，即得定朔弦望加时黄道月度及分秒。
求夜半午中入转
置中朔入转，以中朔小余减之，为中朔夜半入转。又中朔小余，与半法相减之，余以加减中朔加时入转，中朔少如半法，加之；多如半法，减之。为中朔午中入转。若定朔大余有进退者，亦加减转日，否则因中为定，每日累加一日，满转终日及余秒，去命如前，各得每日夜半午中入转。求夜半，因定朔夜半入转累加之；求午中，因定朔午中入转累加之；求加时入转者，如求加时入气之术法。
求加时及夜半月度
置其日入转算外转定分，以定朔弦望小余乘之，如日法而一，为加时转分；分满百为度。减定朔弦望加时月度，为夜半月度。以相次转定分累加之，即得每日夜半月度。或朔至弦望，或至后朔，皆可累加之。然近则差少，远则差多。置所求前后夜半相距月度为行度，计其日相距入转积度，与行度相减，余以相距日数除之，为日差行度。多日差加每日转定分行度，少日差减每日转定分而用之可也。欲求速，即用此数。欲究其微，而可用后术。
求晨昏月度
置其日晨分，乘其日算外转定分，日法而一，为晨转分；用减转定分，余为昏转分。又以朔望定小余，乘转定分，日法而一，为加时分，以减晨昏转分，为前；不足，覆减之，为后；乃前加后减加时月度，即晨昏月度所在宿度及分秒。
求朔弦望晨昏定程
各以其朔昏定月减上弦昏定月，余为朔后昏定程。以上弦昏定月，减望昏定月，余为上弦后昏定程。以望晨定月，减下弦晨定月，余为望后晨定程。以下弦晨定月，减后朔晨定月，余为下弦后晨定程。
求每日转定度
累计每定程相距日下转积度，与晨昏定程相减，余以相距日数除之，为日差；定程多，加之；定程少，减之。以加减每日转定分，为转定度；因朔弦望晨昏月，每日累加之，满宿次去之，为每日晨昏月度及分秒。凡注历，朔日已后注昏月，望后一日注晨月。古历有九道月度，其数虽繁，亦难削去，具其术。
求正交日辰
置交终日及余秒，以其月经朔加时入交泛日及余秒减之，余为平交入其月经朔加时后日算及余秒；中朔同。以加其月中朔大小余，其大余命壬戌算外，即得平交日辰及余秒。求次交者，以交终日及余秒加之，如大余满纪法，去之，命如前，即得次平交日辰及余秒也。
求平交入转朓朒定数
置平交小余，加其日夜半入转，余以乘其日损益率，日法而一，所得，以损益其日下朓朒积，为定数。
求平交日辰
置平交小余，以平交入转朓朒定数朓减朒加之，满与不足，进退日辰，即得正交日辰及余秒；与定朔日辰相距，即得所在月日。
求中朔加时中积
各以其月中朔加时入气日及余，加其气中积及余，其日命为度，其余，以日法退除为分秒，即其月中朔加时中积度及分秒。
求正交加时黄道月度
置平交入中朔加时后日算及余秒，以日法通日内余进二位，如三万九千一百二十一为度，不满，退除为分秒，以加其月中朔加时中积，然后以冬至加时黄道日度加而命之，即得其月正交加时月离黄道宿度及分秒。如求次交者，以交中度及分秒加而命之，即得所求。
求黄道宿积度
置正交加时黄道宿全度，以正交加时月离黄道宿度及分秒减之，余为距后度及分秒；以黄道宿度累加之，即各得正交后黄道宿积度及分秒。
求黄道宿积度入初末限
置黄道宿积度及分秒，满交象度及分秒去之，余在半交象以下为初限；以上者，减交象度，余为末限。入交积度、交象度，并在《交会篇》中。
求月行九道宿度